体验中感悟本质 沟通中实现飞跃

发布人:朱亚忠  阅读次数:  发布时间:2017-05-02

方程有悠久的历史,它随着实践需要而产生,并且具有极其广泛的应用,从数学科学本身看,方程是代数学的核心内容,是学生用算术思想飞跃到用代数思想分析数量关系的重要载体。当我们张开双臂热情拥抱它时,不妨“未雨绸缪”,让孩子在丰富的体验中感悟方程本质,在解决问题中愿列方程,会列方程,善解方程,切实提高解决问题能力,发展数学素养。

体验中感悟本质 沟通中实现飞跃

——关于方程教学的实践与思考

陈金飞

方程作为一种重要的数学思想方法,是学生用算术思想飞跃到用代数思想分析数量关系的重要载体。它对丰富学生解决问题的策略,提高解决问题的能力,发展数学素养有着非常重要的意义。但在教学过程中我们发现方程教学难度较大,效果不甚理想。主要体现在三个方面:一是学生不愿用方程解决问题;二是学生抓不住等量关系列方程;三是学生面对稍复杂方程无所适从。针对这一现象我校数学组作了专题探究,通过深入的实践,有针对性地优化方程的教法、学法,取得了良好的教学效果。

一、加强体验,凸显优势愿列方程

算式表示用算术方法进行计算的程序,列算式依据问题中的数量关系,算式中只能含已知数而不能含未知数。列方程也依据问题中的数量关系(特别是相等关系),但它打破了列算式时只能用已知数的限制,可以根据需要含有相关的已知数和未知数,正因如此,一般地说,列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然,因而有更多优越性。但由于小学教材提供的例子都是简易方程,数量关系比较直观,因此学生对方程法解决问题的优越性缺乏深刻体验,加之学生初步接触方程,还没有形成用方程法来解决问题的习惯,因此,学生忠实于算术法解题也就情有可原。如果我们让方程与解决实际问题密切结合,让学生感受到用方程解决问题,可以使数学思维变简洁,那学生就会愿意用方程解决问题。为了帮助学生感受方程法在解决某些类型问题时在思维上的优越性,应在教学中组织学生经历多角度体验。

1.对比体验。

教师有意识通过对比活动让学生放大体验,从而获得鲜明而准确的体验。

例如:“西安大雁塔高64米,比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米?”

师:用算术法或方程法列式解答,并说说列式的想法。

1:我是用算术法解答,用64-22=42(米),求出小雁塔高度的2倍,再用42÷2=21(米),求出小雁塔高度。

师:生1的想法正确吗?

2:生1的想法是错误的,他以为题中出现“少”字,就用减法计算。其实这道题中要求的问题:“小雁塔高多少米?”是1倍数,大雁塔比2倍数少22米,反过来理解:小雁塔高度的2倍比大雁塔高度多22米,因此用64+22=86(米),求出小雁塔高度的2倍,再用86÷2=43(米),才能求出小雁塔高度。

3:我是用方程解的,设小雁塔高x米,根据“小雁塔高度的2-22=大雁塔高度”,列出方程2x-22=64,解得x=43,即小雁塔高43米。

师:我们回顾一下解决问题的过程,比较两种解法,有什么启发?

4:这道题要求的问题是1倍数,用算术法解答需要逆向思考,而用方程解只要顺着题意列出方程,显得较容易,正确率高。

2.变式体验。

教师引领学生通过建立不同的等量关系式,列出不同的方程式,帮助学生多角度地理解题意,不断积累现实问题数学化的经验,从而提高方程法解题的能力。

例如:“师徒两人同时装配计算机,师傅每天装配31台,徒弟每天装配22台。经过多少天师傅比徒弟多装配72台?”

师:找出题中的等量关系式,根据等量关系式列出方程。

1:我是根据“师傅装配的总数-徒弟装配的总数=72”,列出方程“31x22x=72”。

2:我是根据“徒弟装配的总数+72=师傅装配的总数”,列出方程“22x72=31x”。

3:我是根据“师傅装配的总数-72=徒弟装配的总数”,列出方程“31x72=22x”。

师:比较三种解法,你有什么发现?

4:等量关系式不同,列出的方程也不同。

5:虽然方程不同,但最后解得的结果都是相同的。

师:通过比较,大家积累了一些解方程的经验,今后我们用方程解决问题时,可以多角度思考问题,提升我们的思维水平。

3.策略体验。

初次接触方程,学生往往机械地抓住问题直接设元,致使面对列出的方程手足无措。通过直接设元与间接设元的比较,让学生获得解方程难易不同的程度体验,提高解决问题策略的灵活性。

例如:盒子里装有同样数量的红球和白球。每次取出6个红球和4个白球,取了若干次以后,红球正好取完,白球还有10个。盒子里原来有红球多少个?

师:找出题中的等量关系式,根据等量关系式列出方程。

1:我是设红球有x个,根据“取的次数相同”,列出方程“x÷6=(x10)÷4”, 但我不会解这个方程。

2:我是设取了x次,根据“红球和白球数量相同”,列出方程“6x=4x+10。解得x=5,再用6×5=30(个),求出红球的个数。

师:比较两位学生的不同解法,你有什么发现?

3:有时我们直接设要求的问题为x,解方程的难度较大,而如果换个角度设题中未知的份数或每份数为x,则列出的方程容易解答。

师:那什么时候可以直接设要求的问题为x

4:一般要求的问题是份数或每份数时,我们依据总数相等列方程,直接设要求的问题为x,解答较容易。而要求总数时,根据份数或每份数相等列方程,列出的方程中会出现除法,解答较困难。

师:看来通过比较,大家对方程已有了更深的体验,在今后解决问题时,要根据不同的情况,采用不同的策略。

二、感悟本质,找准等量会列方程

方程是代数学的核心内容,正是对于它的研究推动了代数学的发展,从代数中关于方程的分类看,一元一次方程是最简单的代数方程,也是所有代数方程的基础。“方程的意义”的教学重点是让学生理解方程的含义,体会方程是刻画现实世界中等量关系的数学模型。在教学中,我们要让学生深刻把握方程显性特征和隐性特征两个方面。

1.认识方程的显性特征。

教材提供定义:“含有未知数的等式是方程”,我们不能单从形式化的概念出发设计课堂教学。可采用两次分类的方法,通过比较帮助学生认识方程的外部特征,即含有“未知数”和“等式”。

教学片段:《认识方程》将式子“分类”,认识“方程”。

师:我们来看刚才根据天平图所写的几个式子。

教师在黑板上集中呈现8个式子的卡片:

405090                 X40100

50×2100                  X50200

50100                    X50150

10050                    2X100

师:你能把这8道算式按照一定的标准进行分类吗?(提供装有8道算式的信封)同桌间说说你的想法,再进行分类。

交流:黑板上移动式子卡片,将式子分类。

1:我是按照是不是等式来进行分类的。

学生对黑板上的卡片位置作一些调整,调整后如下:

            50100          50×2100

            10050         405090             

           X+40100         2X100

X50200          X50150

2:我是按照算式中有没有未知数来分类的。学生所排列的式子作如下的调整:

               405090            X40100

               50×2100             X50150

       50100             X50200

10050                2X100

   

3:我把这8道算式分成了4类。

学生对黑板上的卡片位置作出调整,调整后如下:

是不是等式

              50100                50×2100 

  有没有       10050                405090

未知数       X40100               X50150

X50200               2X100

师:大家通过思考、交流,把8个式子分成了4类。看看每一组式子有什么特点?

学生一一描述。

师:请同学们仔细观察“X501502X100这一类式子,和其他式子相比,它们具备怎样的特点?

让学生感知“含有未知数”与“等式”是方程意义的两点最重要的内涵,“含有未知数”也是方程区别于其他等式的关键特征,理解等式与方程这两个概念之间的包含与被包含关系。即方程都是等式,但等式不一定是方程。

2.认识方程的隐性特征。

所谓隐性特征,即是方程特定的本质特征。方程本质对已知数和未知数一视同仁,通过建立起已知数和未知数之间的等式关系,进而求得未知数。实践中,我们注意循序渐进,分层突破。

1)渗透字母教学

在低年级计算教学中适当渗透含有字母的题目,让学生对字母有亲切感,降低字母抽象性,为学生接纳方程打下基础。如“2+  =10,2×(   )=10等填加数、乘数的题目”,不妨以“2+a=102×a=10,a=(   )的形式出现”。中年级加强用整式表示常见的数量关系教学。如:路程=速度×时间。常见的数字问题:连续自然数;连续偶数;连续奇数;十位上数字为a,个位上数字为b,则这个数为10a+b等。   

2)加强等量关系式教学

通过多元表征来突破算式思维的限制,发展学生关系式思维。如借助实物操作或表象操作,通过抓两者之间关系的关键句,用直观图、线段图展示出两者关系,架起直观与抽象的符号表征之间的桥梁进行关系式表征,逐步抽象成符号表征。在低年级数学学习中,加强对数量关系的分析,如每份数、份数与总数三个量之间的关系。重视介绍寻找等量关系行之有效的方法。如“甲数是乙数的3倍”、“甲数比乙数的3倍多12”这两句关键句中,首先找“一倍数(标准量)”,它往往在“是”的后面、“的几倍”的前面,抓住了一倍数也就很容易确立等量关系式。

3)渗透等式性质

学生认识方程的最大困难在于受“程序性观点”(如4+5=9,从左往右运算)的影响,始终拘泥于具体运算(加、减、乘、除),而不会从整体关注,即把方程看成是一个等号两边相等的整体结构,因此,学生只有实现等式“程序性观点”向“结构性观点”(4+5=3+6,把等于号看作天平的指针)的转变,让思维关注点集中于方程表示的等量关系,对方程的认识才能达到更高水平。因此在小学低年级日常教学中就加强等式性质的渗透,将方程技能的训练贯穿于问题解决之中,为今后的方程教学打下良好的基础。如一上计算5+()=12时,教师可结合天平称物体的具体情境(左边5个苹果,右边12个苹果,天平的左边应增添几个苹果,天平才平衡),通过演示来帮助学生学习,让学生感悟到左右两边同时减去5个苹果,这时天平平衡,即括号里的数填7

三、沟通联系,多举并措善解方程

利用等式的性质解方程,对于形如“ax=ba÷x=bax =bx±c”的方程,按照现行教材编排体系,利用等式的性质求解时,学生往往感到无从下手,错误率较高。为此,我们对教材进行了适当重组,在实践中取得了较好的教学效果。

1. 渗透“合并(同类项)”和“消去”思想。增加整式的合并(同类项)和含有括号的整式加减运算。例如化简下列算式:3.2x+2x18+x-123x+3.6+xab+acax+a。合并(同类项)概念不出现,启发学生从乘法分配律角度去理解。

2.沟通“等式基本性质”与“四则关系” 解方程两种依据之间的联系。重点突破“ax=ba÷x=b”,根据等式基本性质,可以解得“x= ab x=a÷b ”,推理过程如下:“ax=b ,则axx=bx, a=bx, bx=a bxb=abx= aba÷x=b ,则a÷x×x=b×xa=b×xb×x=ab×x÷b=a÷b x=a÷b”。通过推理让学生发现:一是不管未知数出现在哪个位置上,都能用等式的基本性质进行转化。二是结合等式性质理解四则运算关系的方法。刚才推出的结果其实就是四则关系中“减数=被减数—差、除数=被除数÷商”。实践证明,虽然花时较多,但效果较好,学生能感受到算术与代数之间的紧密联系,将代数方法与算术方法解方程有机糅合。

3.渗透“移项”的方法。负数的加减乘除虽然在小学阶段暂时不能与解方程挂上钩,但是作为初中“移项”的预备知识,将数与符号看作“一个整体”的观念,及早根据等式的基本性质推导,引出移项的方法。如xa=b变形为x=ba相当于将“加a”移到右边变成“减a”,讨论总结出移项的规则:小往大处靠,即小的移往大的那边,变为相反的符号,原来的加号变为减号(相当于正号变为负号),减号变为加号(相当于负号变为加号)。

以上些许思考与调整,不仅拓宽了学生的解题思路,而且连通了小学、初中相同内容的不同表述,有效地提高了学生对知识系统的建构和把握,降低了学习的难度,克服了学生不愿列方程、不会列方程、不会解方程的弊端。

本文发表于《辽宁教育》,2013.02.7173.

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