“毫米和分米”教学要点例谈
226200 江苏省启东实验小学 季国栋
“毫米和分米”的学习是学生认识长度单位的一个部分，需要建立在学生已有经验和实践活动的基础之上，需要多种活动才能建立正确、丰富的长度表象，在了解单位进率的同时应该呈现数学知识的整体结构；整个教学既要关注儿童现实，也要关注数学现实，将二者相契合。具体教学要点建议如下：
教学要点1：在实际测量和准确表达中，让学生产生新单位的需要。
让学生自己生发渴求新知的需求，需要找准学生的认知起点，创设适切的问题情境，留给学生产生冲突的时空，让学生在矛盾和困惑中，产生探究欲望，经历由困惑到明了的过程，在认知失衡后实现顺应，达到新的平衡。
认识毫米和分米的对象已经是二年级的学生，而且本节课是在学生认识厘米和米的基础上展开教学的，学生已具备对长度的感性认识，测量的方法已经掌握，有一定的用直尺测量的能力。由此展开教学，我们需要考虑两点：其一，数学自身的特点决定了“准确表达”是数学永远的追求；在以往的数学学习活动中，学生或多或少都初步体会到：追求准确表达是数学的基本特征之一。其二，新的长度单位的出现是由于人们在测量长度时用已有的单位测量，感到困难和不便，这时需要规定新的长度单位；固然随着学生认数范围的扩大，可以用小数或分数以及原有认识的长度单位来表达测量长度的结果，但是这是一件非常麻烦的事情，数学是“求简”的。
基于以上两点的考虑，可以创设学生在实际测量后无法准确表达的情境。许多地方的孩子在拿到新书之后，都有购买或者自己制作包书纸，把新书包起来的习惯。因此，可以创设：为数学书制作包书纸，需要知道哪些数据呢？请你测量一下。（课件配合学生回答演示三条边）学生用厘米作单位是可以准确测量出长度和宽度，而用厘米作单位测量数学书的厚度时，发现其结果不足1厘米，学生只能用“不到1厘米”、“半厘米左右”、“大约1厘米”等等来表示，结合实际需要和数学表达的准确性，学生觉得用厘米作单位已经不合适。
学生在感到困惑的同时，心中充满着解决在实际测量中所遇到问题的强烈意愿，创造一个新的、更小的长度单位便成为学生的迫切需要。接着，引导学生观察自己的学生尺，从中找到更小的一个新的长度单位——毫米。
教学要点2：利用原有经验，让学生建立正确的长度表象。
学生初次认识1毫米的时候，我们往往通过投影仪在屏幕上呈现出来，这样便于学生集体观察感知，也便于教师明确说明学生尺上的一小格长度就是1毫米。但是，学生尺上1毫米，在屏幕上呈现是放大的，学生很容易产生误解，形成错误的表象。
表象是外物的呈现方式。表象不同于知觉，知觉只有当对象作用于感觉器官时才存在，表象则可以在这种作用消失后继续存在。在儿童现实中一定有自己熟悉的物体表象，而这个表象是在经历感知——运用——积累经验的过程中牢固建立的。因此，化解学生由于投影产生错误表象的途径就是在呈现时有尺必有物。尺物要同时呈现，并且一定是学生非常熟悉的实物。
利用尺子测量学生熟识的实物，物体和尺子同时出现在一个画面上。在孩子看来，熟识的物体尽管在屏幕上被放大，但是由于头脑里已经牢固拥有熟识物体的正确表象，所以不会对熟识物体的表象产生误解。此时，屏幕上学生熟识物体和学生尺上的1毫米是同比例扩大的，利用熟识物体的正确表象来认识1毫米，学生会通过熟识物体的表象来主动与1毫米长度的表象沟通联系，也就不会对1毫米的表象产生误解，在测量比较中，形成1毫米的正确表象。
长度表象的建立，并不是一蹴而就的，教学中可以采用多种活动进行。在认识1毫米和1分米的时候，都可以通过尺上指认、纸上画出、实物中找、手势比划等活动来建立表象；然后利用1个长度单位的表象来进行对实物长度的估计，再通过实际测量进行验证；也可以利用课件介绍生活中使用这两个长度单位的鲜活实例；通过以上递进的实践活动让学生牢固建立1毫米和1分米的长度表象。
教学要点3：根据生活实践和应用广度，确定学生学习路径和重点。
如同几何形体的认识一样，毫米和分米的认识也可以有两条路径，以毫米为例：一是先认识几毫米再认识1毫米，二是先认识1毫米再认识几毫米。前者可以认为是从整体到局部，属于靠近学生实际，后者则是从局部到整体，属于靠近数学逻辑。然而，选择哪条路径关键在于考量学生实际和数学逻辑间的平衡，如果两者之间差异比较大就应该选择学生实际，如果两者之间的差异不多就可以选择数学逻辑。
对毫米和分米虽没有正式的接触，但学生使用的学生尺上有毫米，几乎天天能接触到，在生活中对毫米也有一定的感性认识。做过调查，发现有许多学生已经知道毫米、分米这些名称，而且部分学生也能模糊粗浅地知道它们的表象和应用。综合以上，我们可以看出在认识毫米和分米时，儿童实际和数学逻辑间的差异很小，因此，可以靠近数学逻辑这侧，从局部到整体，选择先认识1毫米再认识几毫米。
由于不同的长度单位在生活中应用的广度是不一样的，因此根据这一实际状况，学习要求也有所不同：对于米和厘米的要求是“认识”，然而对于毫米和分米的要求是“知道”，也就是“初步认识”。因此，在教学选择上，可以把重点放在毫米和分米正确表象的建立和长度单位之间的关系上。而且，就毫米和分米而言，在实际生活中的应用程度也是不一样的，毫米作为单位的应用在生活中还可以看见，而分米作单位在生活中更少，因此，在教学选择上不是平均用力、用时，应该有所区别。在认识“毫米”时，可以通过指、画、找、比四项活动来建立1毫米的表象，这些操作需要教师的指导和学生的共同参与，并且逐一进行交流；而认识“分米”时，先回顾1毫米的认识过程，借助同样的四项活动来建立1分米的表象，区别在于为了避免学生在尺上首次指认1分米发生错误，影响后续学习的正确性，故需要先组织全班学生共同在尺上指认1分米，再让学生自主进行另外三项活动，最后进行集体交流；至于生活中的运用，可以利用课件例举一些学生熟悉的用毫米做单位的物品，而分米做单位的例子就可以不必呈现。
教学要点4：利用单位进率，让学生体会知识的整体结构。
数学中有许多人为的规定，一般不适合让学生讨论或探究，作出某种规定的原因，许多也难以对小学生说清楚。但是，正如张奠宙先生认为，虽然这些规定不需要证明，只要遵守，但我们可以谈规定的合理性。因此，规定总有它合理性的一面，所以也就存在可以解释的理由和内容。而这些规定的合理性是否在教学中渗透，关键看是否有利于学生的数学学习。如果能找到一个与儿童贴近的载体，借助合适的形式，引发儿童的趣意，在教学中体现出来，不仅可以让学生明白这样规定是有道理的，而且还能作用于学生对知识的学习，帮助学生更好地了解和把握这些数学知识，这是教学相对理想的期冀。
长度单位“米”严格定义后，它的倍数单位十米、百米、千米和分数单位分米、厘米、毫米等都是按十进制原则规定的。对于这个规定，在“毫米和分米”的教学中，我们可以借助“台阶”来渗透“十进制”的规定，并且让学生在趣意中更好地享受数学学习。
首先，课前谈话，引入台阶。生活中有许多事物的发展都可以放在台阶上来表达的，比如，提供词串“小学，幼儿园，中学”和“长叶，生根，发芽”，让学生合理地摆在台阶上（如图1、图2）。让学生从中可以发现不管是植物的生长，还是人的学习历程，都是从一个台阶迈上另一个新的台阶，让学生感受到生活中的事物都有一定的发展顺序，进而利用如此形象的事例来蕴含数学知识的发展也同样如此。
图1 图2
其次，由彼及此，引出分米。在学生认识1毫米，知道1厘米等于10毫米之后，将毫米和厘米之间的关系，放到台阶上。1毫米1毫米地加长，加到10毫米就到了一个更高的台阶，产生新的单位，那就是厘米。然后，回想以前认数的时候，一个一个数，数满10个一就上一个台阶，也产生新的单位，那就是1个十，十个十个数，数满10个十就再上一个台阶就是1个百（图3）。再由计数单位推及长度单位，1厘米1厘米增长，合情推理出达到10厘米的时候也应该有一个新的长度单位，那就是分米（图4）。每个台阶以及往上的一段颜色各不相同，以此来区分不同的单位，用不同的颜色来表示不同的单位。
图3 图4
再次，完整台阶，融通知识。在学生认识分米、知道米和分米的关系之后，将长度单位“米”也摆放在台阶上（图5），接着再由长度单位推及计数单位，10个百就是1个千（图6）。波利亚在《怎样解题》中说：“在求解（求证）一个问题时，如果能成功地发现一个比较简单的类比题，那么这个类比问题可以引导我们到达原问题的解答。”类比推理是根据不同对象的某些方面（如特性、属性、关系等）相同或相似，推出它们在其他方面也可能或相似的思维形式，是思维进程中由特殊到特殊的推理。这样一来一往，将长度单位和计数单位进行类比，融通了计数单位和长度单位都有“十进制”关系，让学生深刻体验数学的联系。
图5 图6
最后，合二为一，突显结构。结构化——它让混沌变得清澈。为了认识表示长度、面积、体积、温度、重量、明暗等长短、大小、冷暖、程度的量，我们用结构化的思想，引入了不同单位，发明了不同的度量工具，让我们的世界变得更明朗。计数单位和长度单位的相同之处就是十进制。在完整长度单位和计数单位两个台阶之后，将两个台阶合二为一（图7），让学生留有深刻影响，或许将伴随其一生。
图7
数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。“毫米和分米”的教学中，利用台阶，将数学规定的合理性通过儿童能够理解的方式和载体，直观化，明晰化，趣味化。这样不仅让学生学得趣意盎然，明了长度单位之间的关系，帮助学生更好地学习，而且还融通数学内部联系，体现了数学知识的整体性。
本文发表于《小学数学教师》2013年第10期