从有限到无限 从量变到质变

——求解圆面积的方法历史演变

陈金飞

“圆的面积”是小学数学几何教学中非常重要的课程内容。它是平面图形的认识和测量中，由直边图形变为曲线图形的关键点，也是数学思想从“有限”进入“无限”的一次飞跃。自古以来，在相当长的一段时期内，研究圆的面积是人们理性追求的一个巅峰。“化圆为方”连同“倍立方”、“三等分任意角”成为古希腊人几何尺规作图三大难题。直到19世纪数学界研究发现，仅凭尺规作图是无解的，但是朴素的化圆为方这一化曲为直的思想，和古希腊数学家的穷竭法，为后来人们研究解决圆的面积起到了决定性作用。同时，无限分割、化曲为直的思想，在数学发展史上具有不可估量的重大意义。

美国数学家和数学史学家M·克莱因认为，人的认识过程与人类认识的过程是基本一致的，历史上数学家曾经遇到过的困难，课堂上学生同样会遇到。今天学生理解上的困惑，不过是历史上数学思想困惑的逻辑“重演”。 ^[1]历史上数学思想方法的突破点是数学历史发展的重大转折，亦是今天学生学习的难点。因而，了解求解圆面积方法的历史演变过程，对于学生从数学史的角度，找寻目前正在学习的数学知识的本源，有一定的借鉴与探源作用。

一、古代的求解方法：通过有限分割逼近圆面积，苦苦追寻

在过去漫长的年代里，人们为了研究和解决求圆的面积这一问题，花费了很大精力。在古希腊，人们最先发现正方形面积计算公式。于是有人想到，既然会求正方形的面积，那么只要作出一个正方形，使它的面积恰好等于圆的面积，就能实现“化圆为方”。公元前5世纪，著名哲学家阿那克萨哥拉在为追求真理而放弃财产，身陷囹圄，在铁窗下依然研究“化圆为方”问题，可见这个问题的魅力。著名辩士、诗人安提丰（Antiphon）采用圆内接正多边形解决“化圆为方”问题（见图1）。从正六边形出发，不断倍增边数，安提丰认为，当边数无限多时，圆就化成了方，即求出了圆面积。虽然这只是空中楼阁，但安提丰的逼近思想为阿基米德所采用，阿基米德分别用边数不断增多的圆内接正多边形和外切正多边形逼近圆的周长（见图2），给出了圆面积计算公式：圆的面积等于以圆周长为底，半径为高的三角形面积。      

这相当于中国汉代数学名著《九章算术》中记载的：“半圆半径相乘，得积步。”即圆面积等于圆周长的一半乘半径。我国数学家刘徽从圆内接正六边形开始割圆，得到一个正6×2ⁿ边形序列（n=0、1、2……），所谓“割之弥细，所失弥少”。他在圆内作内接正六边形，即把圆周分割成6等份。这时若以六边形的面积S₆来代替圆的面积S，则损失6个小弓形的面积δ₆=S- S_6，如图3。再作圆的内接正十二边形，这时，若以S₁₂代替S,则要损失12个小弓形的面积δ₁₂=S- S₁₂，由图可知，损失的要比前者小得多。如此分割下去，损失的δ_3×2ⁿ=S- S_3×2ⁿ 是随着分割的不断细密而无限减小^[2] （见图3）。

古印度的数学家另辟蹊径，采用类似切西瓜的办法，把圆切成许多小瓣，把这些小瓣对接成一个近似平行四边形。再通过分割平移将平行四边形转化为一个近似的长方形，用近似长方形的面积代替圆的面积^[3]（见图4）。

数学家们苦苦探索，却总也找不到一条途径能跨越直边形与曲边形之间的间隙，同时又满足他们对数学严密性的追求。在这些数学家的思想中，永远不能超越清晰的直觉理解的界限，总认为有一个量剩下来（虽然它可以变得任意小），这一直觉使得曲线与直线之间永远保持着不可逾越的差异。^[4]

二、近代的求解方法：通过无限分割实现化曲为直，获得突破

到了17世纪，德国天文学家开普勒独辟蹊径，抛弃了经典的阿基米德算法，引入无穷小概念，借助一种模糊的“连续性桥梁”——多边形和圆之间、有限与无限之间、无穷小面积与直线之间没有显著差别，在数学史上，首次开创了圆面积计算公式推导的新方法。在他第二次婚姻的婚礼上，在思考酒桶体积算法时，受切西瓜的启发，他把圆分割成许多小扇形，他认为只有把圆分割成无穷多个小扇形，这时每个小扇形的面积就变成了对应小三角形的面积，于是圆的面积就等于这无穷多个小三角形面积之和，将这些小三角形等积变形，最后，构成了一个大直角三角形，三角形的底就是圆的周长，三角形的高就是圆的半径，从而得出圆的面积计算公式S =cr=πr²（见图5）。

开普勒无限分割、化曲为直的方法，跨越了曲与直的直觉理解界限，它的意义无法估量。化曲为直得到了当时数学家们的高度评价，但也遭到了一些人的质疑。开普勒分割出来的无穷多个小扇形，它的面积是否为零？如果为零，半径OA和半径OB就会重合，小扇形OAB就不存在了；如果不为零，小扇形OAB就有弧度，把它看作与三角形OAB面积相等那就不对了。意大利物理学家卡瓦利里仔细研究了开普勒推导圆面积的方法，同样感到很困惑：把圆无穷分割，那么分割到什么时候才是尽头？只要是图形，那就还可以继续分割。一天，卡瓦利里的目光落在自己的衣服上，突然茅塞顿开。如果把布看作一个长方形，那将布不断分拆，拆到棉线就为止了。圆不断分割，分到一根根线段就不能再分了。于是，他把不能再细分的东西叫做“不可分量”，卡瓦利里把点、线、面分别看成是直线、平面、立体的不可分量，把直线看作点的总和，把平面看成是直线的总和，把立体看成是平面的总和。^[5]

开普勒、卡瓦利里改进了古代数学家的穷竭法，与无穷小量的观念结合起来，将“穷竭”这个词用来指自己的新方法，这个新方法直接导致了微积分的产生，并且真正地把量“穷竭”了。

三、现代的求解方法：利用定积分的方法推导圆的面积公式，以曲代直

古代数学家试图在一个圆中循次内接边数越来越多的多边形，希望最后“穷竭”圆的面积，找到一个与圆的面积相等的多边形，虽然没有成功，不过同样的过程却被现代数学家吸收，以此作为基础，把圆的面积定义为近似多边形的面积A1，A2，A3，…，An,…组成的无穷数列之和的极限A。例如，想要计算椭圆上的一段弧与经过这段弧两个端点的直线所围成图形的面积，只要把这个图形分解成n个宽度相等的长方形，并把这些长方形的面积相加，就得到了这个图形的近似的面积^[6]（见图6）。

很明显，分解出的长方形数量越多，这些长方形面积的和就越接近真实的数值。当被分解成的长方形数量逼近无限的时候，把这些长方形的面积加起来就得到了图形的实际面积。由于存在感觉界限，从多边形面积数列转变到圆的有限面积的过程无法“直观化”，为了将极限过程从面积概念固有的几何知觉中解放出来，必须把无限分割从感官经验的王国中排除出来，给这个概念下一个形式化的定义，以确保这个极限值的有效性。因而现在用来表示定积分的记法，是一个无穷数列各项和的极限，而不是一个无穷数列的极限。

首先在直角坐标中作出半径为r且圆心在原点的圆（见图7），此时圆的方程为x²+y²=r²，对于第一第二象限的半圆y=，与x轴的交点为（﹣r,0）和（r,0），在

[﹣r,r]上取一点x,加上一个无穷小量dx，在x和x+dx处分别作x轴的垂线，与圆相交后，就形成了一条边为曲线的近似矩形。当dx无限小时就成为一个矩形，这个矩形的长为，宽为dx，面积为dx。由于截取了一小部分，这个矩形的面积极小，把无数个这样的矩形的面积累加起来，当dx趋于0时，这无数个小矩形的面积之和的极限就是半圆的面积。

用定积分求，令x=rsint，则dx=rcostdt。当x=﹣r时，t=﹣，当x=r时，t=。

原式====

==。

半圆的面积等于πr²，所以圆的面积为πr²。利用微积分的方法，一个困扰人们几千年漫长历史的“化圆为方”问题，轻而易举得到了解决，难怪莱布尼茨惊叹：“熟悉微积分的人能够如此魔术般地处理一些问题，曾使其他高明的学者百思不得其解！”^[7]

参考文献：

 [1]M·克莱因.古今数学思想（第1册）[M].朱学贤，等，译.上海：上海科学技术出版社，2002：2-3.

 [2] 刘英奎，张小乐.古代数学[M].北京：大众文艺出版社，2004：100-108.

[3]赵锐.基于数学史的“圆的面积”教学案例设计【J】.湖南教育，2010（8）.39-42.

[4]卡尔·B·波耶.微积分概念发展史[M].康生，译.上海：复旦大学出版社，2011：31-34.

[5]梁宗巨，王青建，孙宏安.世界数学通史（下册·二）[M].辽宁：辽宁教育出版社，2000：637-638.

[6]Mario Livio.数学沉思录[M].黄征，译.北京：人民邮电出版社，2010:64.

[7]李文林.数学史概论【M】.北京：高等教育出版社，2002：171

﹡本文系江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题“数学史视野下的小学数学教学的案例研究”（批准号：B-a/2013/02/002）的研究成果之一。

作者简介：陈金飞，1974年生，男，江苏启东人，江苏省启东实验小学副校长，中学高级教师，主要从事小学数学教学研究。

【作者单位】江苏省启东实验小学，联系地址：江苏省启东市人民中路720号（226200），联系电话：15962731800，E-mail:cjxxcjf@163.com。