渐变：让学生在意趣中信步于学习深处

江苏省启东实验小学  季国栋

古希腊哲学家赫拉克利特说过：“一个人不能两次踏进同一条河流”，意思是说，变化是世界的特点，一切存在都是在变化的。

渐变是变化的一种形式，是一种逐渐发生改变，有顺序、有节奏的渐进变化。渐变现象在生活中随处可见，如形状、大小、位置、方向、色彩等。看似平常的渐变形式，却给人以别样的意味和情趣。因为渐变是很自然的变化，并不让人感到突然，而恰恰在这不经意间，在这不希望变化和不追寻变化的过程中，却会始料未及，带来意想不到的惊喜，享受到渐变所带来的强烈意趣。

如果把这一艺术性的手法运用于我们的教学之中，与数学学习如期而遇，学生就会觉得特别“好玩”，真切感受到学习的意趣。这意趣中既有能看见的情趣，也有能体会的理趣，可以帮助学生将感性与理性有机融合，步入学习深处。

一、真切引领深察特征

认识长方体的教学，要求学生由原先的直观的感性认识上升为初步的理性认识，具体说来，就是从整体把握和直觉作出判断，提升为不仅掌握长方体的基本特征，能根据特征判断一个物体的形状是不是长方体，而且要通过探究，认识长方体的一些其他的特征，并能在问题解决中应用这些特征。

这样的知识特点和认知要求很适合运用渐变的形式来组织教学（图1），通过渐变来引领学生深察长方体的特征，从而为牢固掌握和灵活应用夯实基础。

                         图1

让学生先看着第一幅完整的长方体图形，然后闭上眼睛，试着在脑海中回忆出长方体图形的样子，再睁开眼看看脑海中的图形是否与眼前的长方体一致。之后，从完整的长方体渐变到只有“长、宽、高”各一条棱，再回到完整的长方体。这样，学生在睁眼——闭眼——睁眼的过程中，体验着感知的乐趣，情趣中蕴含理趣，体会到：长方体不同于一维的直线和二维的平面，是立体图形，具有三向性，即前后、上下、左右三个方向，也就是三维；长方体就是由代表三维的长、宽、高三向的长短来确定的。

二、从容拓展深度思维

 “数学教学是数学（思维）活动的教学。”斯托利亚尔在列举数学教育目的时把发展学生的数学思维放在第一位。学生的思维不能缺乏深层的交流和碰撞，不能没有思维的深度，而要实现有深度的思维，不仅要找准思维的关键，而且必须在关键之处让思维有所突变。我们可以从“水滴石穿”中感受到渐变所带来的最后一滴的突变的力量，在思维上渐变的效果同样如此。

如，在探究三角形三边关系时，就可以运用渐变的方式，引导学生感悟要点。三

                           图2

角形三边的关系是两边之和大于第三边。通过直接比较两边长度之和与第三边的大小，是可以发现这个结论的。过程仅此而已，貌似探究，其实质还处于思维的表层，关键是如何想到这般比较，这才是深度的思维。教师运用渐变（图2），呈现a和b两条边长度逐渐变长的过程。学生在感受a边和b边不断增长的同时，困惑也油然而生：“a边和b边要长到什么程度才可以围成三角形呢？”渐变将这一过程充分暴露出来，有利于所有学生明白研究的原由，意识到研究的关键是要用两条边的长度之和与第三边比较，即以此来判断是否能围成三角形。这样，可以改变以往教学中学生知其然而不知其所以然的现象，也改变只有个别学生知道的尴尬局面。

图3

接下来，教师可先后呈现三种不同的变化（图3）：只增加a边的长度，另两条边的长度不变，让三条边围成三角形；只增加b边的长度，围成三角形；在a边和b边长度不变的情况下，缩短c边的长度，也围成三角形。教师通过呈现三角形不同边的增长或缩短，让学生在渐变中真切感受到任意改变某条边的长度，都可以围成三角形，而不是局限于某两条边长度的和大于第三条边。这样的教学能帮助学生准确把握住三角形三边长度之间存在的是一种关系，那就是任意两条边的长度和大于第三条边。

教师利用渐变的形式呈现学生所需要的感知内容，让学生的思维随着渐变，在感悟中得到递进，当递进到一定量的时候，就能突破一个度，形成一种豁然开朗的突变，将思维引向深处。

三、轻松明晰深隐关系

小学数学教材中有许多关系没有直接表达，仅仅隐含其中，学生难以觉察与体会；虽然考虑到学生的认知水平并不要求其掌握这些关系，但是学生在实际运用中却往往会触及。

比如，在长方形和正方形认识中，只是让学生通过观察、操作、思考和交流等活动，进一步认识长方形和正方形的基本特征，知道长方形、正方形边和角的基本特点，体会长方形与正方形的联系和区别，至于正方形是特殊长方形这一关系，就深深隐藏起来。然而，学生会遇到这样的判断题：1.长方形对边相等。2.正方形对边相等。通常都会出现：第一题正确率很高，第二题却是错误较多。同样，生活中有许多人从幼儿时就能从长方形纸中剪出正方形，但是对于操作背后数学理由却并不知道。这些现象产生的原因就在于正方形是特殊长方形关系的藏而不露，更不用说清晰明了。

对于隐含在教材之中的有些关系，学生并非无法理解，关键在于采用怎样的方式可以让学生顺畅清晰地解其意，明其理。

                             图4

在渐变中（图4），长方形的长在变化，而且在每一次的变化中，长和宽的长度越来越接近，并且不断趋于相等。即使长和宽相等时，图形的特征也仍然是对边相等，四个角是直角，依然是长方形，不过此时的边比较特殊，不仅对边相等而且四条边都相等。在这个过程中，图形由一般形状的长方形开始，逐渐转变为特殊形状的正方形，再变化到一般形状，最后定格为特殊形状，学生从中既可以发现正方形与长方形有着密切的联系，而且还能明确正方形是长方形的特殊状态。

四、准确理解深邃内涵

数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。许多概念中的词语也非常抽象，很难理解，如“容器所能容纳物体的体积就是这个容器的容积”中的“所能容纳”，便是如此。

通常教师在盒子里装满细沙，引导学生观察，表明盒子所能容纳细沙的体积，就是盒子的容积，随后师生共同列举多种不同容器装满物体的情形，并在此基础上概括出像水桶、瓶子、茶叶桶等所能容纳的物体的体积，叫做它们的容积。显然，如此教学这仅仅只是容器与所装之物的变换，并不是容积概念的本质反映，而对于“所能容纳”的理解更是采用回避的态度，留待学生自己感悟，自我完善。但学生很容易产生误解，认为容器所装物体的全部体积，即便超出，仍是该容器的容积，也认为只有装了物体的容器才有容积，没装物体的容器就没有容积等。这些偏差的认识，错误的理解通过渐变都可以避免。

                      图5

通过运用渐变形式（图5），教师提问引导：“哪个杯中的沙子体积是杯子的容积？这4个相同的杯子容积相等吗？”由此，学生可以在渐变中比较，在比较中准确理解“所能容纳”指的是杯中的沙子正好装满，没有缝隙，也没有超出。进而，学生在渐变中还能直观地体会到：杯子里即使没有装沙子，也是有容积的；杯子里装的沙子在渐渐地变化，而杯子的容积没有改变；相同的杯子，容积相等。

另外，在学习圆锥体积时，师生往往将圆锥体容器装满水，然后倒入和它等底等高圆柱体容器，三次基本倒满，得出圆锥体体积等于和它等底等高圆柱体体积的三分之一。教学中就是这样采用容积来确定体积的。然而，很多学生对此感到困惑：“为什么容积就等于体积？”为了帮助学生释疑解惑，可以利用课件，将圆锥体容器的厚度进行渐变，先呈现比较厚的圆锥体容器，然后逐渐将容器壁的厚度变薄，引导学生慢慢感受，逐渐想象到“零厚度”，最后抽象成圆锥体的数学图形。由此，让学生理解在理想状况下，可以忽略圆锥体容器壁的厚度，因此容积就等于体积。

对于小学生来说，没有变化或者变化过于强烈，都不能产生刺激，形成不了感受；因此，在设计渐变情景时，要注意变化的程度。渐变的程度太大，就不连贯，感觉脱节；渐变的程度太小，就会重复，感觉拖沓。渐变或大或小都不会有冲击感，无法形成顿悟式的突破。若能合理设计渐变，从总体上把握事物的变化，让量变的积累引起质变时，就会如渐变论中所言“使微小的渐变逐渐积累，产生惊人的效果”。

本文发表于《福建教育》