和倍、差倍关系的教学再实践与再思考

   陈金飞

2011年第3期《中小学数学》（小学版）发表了董丽君的《三年级学生理解和倍、差倍关系的教学实验与研究》一文。董老师潜心钻研小学数学教学，站在整个小学六年数学体系的角度，提出了在三年级实施和倍、差倍关系教学的必要性。拜读了该文，对董老师的教学视野表示由衷的钦佩，觉得深受启发。诚如董老师所言，和倍、差倍问题的数学结构模式客观存在于一般的分数应用题与比例应用题中，如六年级较常见的“求一个数比另一个数多几分之几（百分之几）”的应用题，如果不在整数应用题中将此类问题弄清，势必留下系统漏洞。董老师尝试以图形等式表征，通过学习图形等式推算的方法，在模式直观中理解和倍、差倍的数学结构，用图形等式推算的方法解答和倍、差倍问题。借助图形等式推算这一相对直观的“脚手架”来解决和倍、差倍问题，显然为我们的教学研究提供了一个崭新的视角，我们三年级数学组的老师觉得很有实践价值，遂依据董老师的实验要求，再次编拟了2份试卷（详见文后的附件），在同轨的18个班级中选择了6个班级（每班均40人）进行了施教实验。我们把6个班分成3组，每组2个班学业水平相当，由本人和其他两位老师各承担2个班的教学，分别教学用图形和线段图表征题意。实验的结果却出人意料：

1.表征题意的方式。用图形表征题意的三个班（120人）学生，基本能用图形表征例题中的5、7两题，而例题中的6、8两题，学生感觉无从下手，不会表达两个未知量之间的关系。通过例题教学，在当堂反馈检测中，检测题1、2、4三题能正确表征的学生占30%，3、5两题能正确表征占10%。能正确表征题意的学生都用两个图形两个等式的表征方式，没有学生转化为一个图形一个等式的表征方式。用线段图表征题意的三个班（120人）学生，例题5、7两题学生能自主画图，6、8两题需要老师适当提示，如多的部分与少的部分的正确表达。同样，通过例题教学，在当堂反馈检测中，检测题1、2、4三题能正确表征的占80%，3、5两题能正确表征占60%。

2.检测题的正确率。用图形表征题意的班级，1、2、4三题答题正确率为25%，3、5两题答题正确率为7.5%；用线段图表征题意的班级，1、2、4三题答题正确率为50%，3、5两题答题正确率为30%。

3.解题的速度。用线段图表征题意的学生解题速度明显快于用图形表征题意的学生。

面对实验结果，我们三年级组全体数学教师进行了教学反思，我们觉得：实验过程中固然存在着诸如教师引导水平的差异，但也不可否认，同龄学生的认知建构能力应该基本处于同一水平。根据实验的结果，我们认为用图形等式推算的方法不适合在三年级施教，理由如下：

理由一：将和倍、差倍问题转化为一个图形一个等式，实质是将两种未知量通过等量替换转化为一种未知量，这就要求学生首先要具备这种化文字为图形的能力，其间又涉及数量关系的理解、作图能力等要求，而显然这些要求对部分三年级学生而言，拔高了要求，实践也证明：这套“化”的功夫对部分学生来说，根本掌握不了。反观苏教版教材的编排，把这一策略的教学安排在六上“解决问题的策略单元”，例“小明将720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯正好倒满，小杯的容量是大杯的。小杯和大杯的容量各是多少毫升？”，是基本符合学生的心理与知识特点的。在三年级为了解决和倍、差倍问题而先学习替换的策略，显然远远超出了学生现有的认知水平。

理由二：用图形推算的方法解决和倍、差倍问题中整数倍的时候，由于数量关系相对简单，学生尚能理解；而一旦出现和倍、差倍问题的变式题（如例6、例8），显然学生的理解能力还不能达到这一高度。当几倍多（少）几用1倍数来表示时，或者是用顺的思维思考，这相当于建立了一个方程，三年级学生显然没有这样的解决能力；或者是用逆的思维思考，可如何用算术方法来解决“多（少）几”，根据图形表征，学生一时也理解不了。

基于以上思考，我们对“和倍、差倍应用题到底以怎样的形式表征数量关系更适切”作了更为深入的研讨。通过仔细查阅苏教版教材编排体系，结合施教的结果，我们认为用线段图来表征和倍差倍应用题的数量关系更适切。在苏教版教材二年级下册“乘法单元”中的“倍的认识”，教材安排教学了“求一个数是另一个数的几倍”和“求一个数的几倍是多少”两大类型。其中在教学“求一个数是另一个数的几倍”时，教材有意渗透线段图的表征方式，从最初的实物图逐步抽象成用图形（如圆、三角形）代替实物，再过渡到用一长条表示1倍数，几个相同的长条表示几倍数。在教学“求一个数的几倍是多少”的实际问题时，则抽象成线段图来表征两个量之间的关系。显然，三年级学生已经具备初步的画线段图解决问题的能力。而我们在教学用线段图来表征和倍差倍应用题的数量关系时，也明显感觉学生学得轻松，而且效果好。经过施教实验，我们全体三年级组数学老师形成了对这一知识系统教材处理中如何以学定教的些许感悟。

1.要用系统的思想处理教材，以整体的方式建构学习模型。

教学，是“让新知之舟泊在旧知的锚上”，为新知的学习提供最佳关系和固定点。纵向（转化）顺应于原有的认知结构之中，横向（类比）“点”状的新知同化建构成一个完整的认知结构。在起始课中，我们可以有意识地引导学生归纳梳理学习的过程，建立清晰的“倍”的概念。到了高段以分数（百分数）和比的相关内容继续推进“两量倍比关系”的教学。五年级（下册）《认识分数》单元安排了 “求一个数是另一个数的几分之几”的实际问题，六年级（上册）由比的学习，沟通了“两量倍比关系”的不同情况：商比1小往往用分数表达，商大于或等于1可以用倍数（或分数等）来表示。此时学生已从形象思维为主逐步过渡到以抽象思维为主，我们可以根据不同层次的学生提出不同的要求，对思维能力强的学生可以鼓励其进行抽象思考，再以数化形，验证自己的思考；对于思维能力弱的学生可以鼓励其以形换数，支撑并促进对问题的理解与分析。学生经历数形结合的历练，就可以逐步走向理性思考。到了六年级（下册）解决“求一个数比另一个数多或少百分之几”的实际问题时，教师可以让学生借助线段图分析数量关系，也可以直接从问题入手分析比较量及相应数量之间的关系。著名数学家华罗庚说过，“数缺形时少直观、形少数时难入微”。因此在分析数量关系时，我们借助于图形，以数化形，以形换数，不仅可以使抽象的概念和关系直观化、形象化，也可以借助数量关系的理解和分析，使思维过程更深入，更有条理。

2.提前孕伏，合理渗透“数形结合”的思想。

在教学“求一个数是另一个数的几倍”时要渗透这样两个问题“一个数与另一个数的和是1倍数的几倍”、“一个数比另一个数多几倍”。如“杨树5棵，柳树15棵，柳树和杨树的总棵树是杨树的几倍？柳树的棵树比杨树多几倍？”学完了“求一个数的几倍是多少”后，教师还可根据学生的学习实际，灵活地进行逆向拓展，即让学生尝试解决“一倍数未知”的简单实际问题（在过去的九年义务制人教版教材在二年级有所编排），如“柳树15棵，是杨树的3倍。杨树有多少棵？”让学生先找1倍数，理出数量关系式“杨树的棵树×3=柳树的棵树”，根据乘除法之间的关系用除法求出1倍数。虽然教材将较复杂的“一倍数未知”的问题安排在五年级方程单元进行教学，但解决问题的教学不能局限于相同类型的问题情境，让学生陷入思维定势。在解决问题过程中，同样注意数形结合，引导学生借助直观的线段图，分析数量关系，使学生理解线段图对于数学思考的重要价值。

3.适切的才是最好的。

美国著名教育心理学家奥苏贝尔曾经提出这样的命题：“如果我不得不将所有的教育心理学原理还原为一句话的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，根据学生的原有知识状况进行教学。”俗话说教无定法，贵在得法。施教时一定要考虑受教者的认知基础。诚如方运加在《数学教育科学是纲（续）》一文中所论：“从对数学认知的研究中获取科学的教学方法——对‘左和右的认识’运用科学的方法，像皮亚杰那样，在对认识活动步骤的分解上下功夫，就有可能取得更好的教学效果。”所以，我们在实施教学时，一定要基于学生的理解水平，实施有“过程”的教学。

（非常感谢参与讨论的三年级组全体数学教师及参与上课的张燕、周礼两位老师）          

附试卷一

例题：

1.  ○ ＋ □ =20   ○= □＋□＋□   ○=（  ），□=（  ）

2.  ○ － □ =20   ○= □＋□＋□   ○=（  ），□=（  ）

3.  ○＋□=34      ○=□＋□＋□＋2   ○=（   ），□=（   ）

4.  ○－□=10      ○= □＋□＋□－6   ○=（  ），□=（  ）

5．奶奶家养了公鸡和母鸡，一共35只，公鸡的只数是母鸡的4倍，奶奶养的公鸡和母鸡各有多少只？（先用图形表示题中的数量关系，再解答）

6．四年级和五年级共有54人，四年级学生比五年级学生人数的2倍少6人，四，五年级各有多少人？（先用图形表示题中的数量关系，再解答）

7．甲、乙两所学校，甲校学生比乙校多24人，甲校学生人数是乙校的3倍。甲、乙两校各有学生多少人？（先用图形表示题中的数量关系，再解答）

8.有两堆黄沙，第一堆比第二堆多38吨，已知第一堆比第二堆的4倍还多5吨。两堆黄沙各多少吨？（先用图形表示题中的数量关系，再解答）

达标检测：

1.食堂做肉包子80个，做菜包子的数量是肉包子的3倍。肉包子和菜包子一共做了多少个？（先用图形表示题中的数量关系，再解答）

2.粮店运来大米和面粉共28千克，其中大米的重量是面粉的3倍。运来大米和面粉各多少千克？（先用图形表示题中的数量关系，再解答）

3．某汽车场共有大、小货车共61辆，大货车比小货车的5倍还多7辆，这个汽车场大货车、小货车各有几辆？（先用图形表示题中的数量关系，再解答）

4.甲桶中的油比乙桶中的油多30千克，其中甲桶中的油是乙桶的4倍。原来两桶油各是多少千克？（先用图形表示题中的数量关系，再解答）

5.某工厂女职工人数比男职工少54人，男职工人数比女职工的8倍少2人。这个工厂男、女职工各有多少人？（先用图形表示题中的数量关系，再解答）

试卷二

例题：

5～8题、达标检测与试卷一相同，只是要求学生先画线段图，再解答。

本文发表于《中小学数学》，2011.09.8～10.

4200字