让智慧在疑趣中应然而生

                      ——“倒推”策略的教学预设与思考

江苏省启东实验小学  季国栋 

策略是一个“好念头”，是一种特殊的智慧。倒推策略的教学就是要让学生能根据解决实际问题的需要，确定合理的解题思路，恰当选择“倒过来推想”进行有条理的思考，在有效解决问题的过程中，提升对策略的认识，并形成策略意识。形成这样一种智慧并非易事，而且儿童的策略处于形成的初步阶段，需要教师给予清晰的指导，更需要与儿童相适切的学习课堂。

小学数学并不是纯粹的科学数学，是具有现实数学、经验数学和生活数学的性质。板着面孔、与枯燥寂寞相伴的数学难以走进孩子的心灵。在生动有趣的课上，在争论富有吸引力的问题时，学生觉得时间过得很快，思维活动开始后不再需要意志的努力，不受外界干扰而进行积极主动的思维。新修订的课程标准对于趣意和思维的强调也是非常明显的。

因而，基于儿童现实与学科特点，让学生在疑趣中形成策略，拥有智慧是一种较好的选择。这适切的学习课堂既要关注学生的思维，也要兼顾学习的趣意，既注重“疑”，又关注“趣”，疑中有趣，趣中生疑，由疑生思，由思得趣，让疑趣立体交融，相得益彰。“疑”指向智慧，思维永远是从问题开始的；“趣”指向快乐，愉悦永远是和趣意相连的。吴正宪老师提出让儿童享受“好吃又有营养”的数学，或许，“由疑生思”恰是“有营养”，“由思得趣”恰是“好吃”。

教学过程：

一、萌发策略

1.简单中的深刻：呈现“小猫钓鱼”。

2.交流：可以从鱼找猫，也可以从猫找鱼。

3.感悟：在顺着找麻烦时，倒着找或许更能准确、便捷。

【思考：这“趣”，是悟之以理趣，突出的是鞭辟入里、洞悉幽微的理趣，让学生觉得“有味道”。“一个新思想最有意义的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最简单的例子、最原始的定义，以及最初的一些结果。最重要的信息却常常包括在容易的部分，甚至在几个简单且深刻的观察之上！”显然，我们要让学生在精致化的生活经验中，循着感性中的浅白之理，向着数学的理性认识迈进，生成数学理性知识。虽是成人不足为奇的一张图画，却是学生喜闻乐见的经典建模之基。】   

二、形成策略

（一）引出策略：一个量的变化

1.初步表征问题

（1）故事：《秀才请客》

古时候有位秀才过生日请客。到了时间，有些客人还没来，便急着说：“怎么搞的，该来的不来？”来的客人心想：“那我们是不该来的？”有一半的客人给气走了。秀才一看，越发着急了，便说：“不该走的怎么走了呢？”剩下的客人又想：“我们这些没走的倒应该走了？”又气走了十位客人。这时，秀才自言自语道：“我说的又不是他们。”这下，又有一半客人走了，结果只剩下两位。

（2）提出问题：原来已经来了几位客人？

（3）合理建议：复杂过程需要先顺着整理。

（4）学生独立解答，再交流。

（5）明确：倒着推想不仅仅在思考方向上从结果倒推至原来，而且还要运用加与减、乘与除之间的关系，倒过来算。

【思考：这“趣”，是动之以情趣，突出的是雅俗有致，妙趣横生的情趣，让学生觉得“有意思”。 数学知识来源于生活，许多内容都能在生活中找到相对应的原型。一些不易理解的理性认识，如果学生听不明白，不应该喋喋不休地从理性的角度反复讲，而应该寻找贴切的例子，运用富有情趣的事理向学生阐释。】

2.回顾揭示策略

（1）回顾过程：简单的可以直接倒推，复杂的可以先顺着整理，再倒着推想。

（2）揭示课题：这种倒着推想的方法也是一种解决问题的策略。我们把这种策略叫“倒推”，有时也叫“还原”。（板书：倒推）

【思考：探寻数学知识是需要研究方法的。往前走一段，再回过来看一看，或许就能真切地发现自己已有的收获，而这一点往往容易被忽视。如同柏拉图所说，我们后来所获得的东西，总是在先前已为我们所拥有。】

3.反复表征问题

（1）交换故事中的两个情境，学生再次表征问题并寻求答案。

（2）思考：都是有两次走了一半，一次走了10位，为何原来的客人人数不同？

（3）交流：倒推时顺序一变，最开始的那个数也就不同。

（4）注意：不管是顺着整理，还是倒着推想，都要有序进行。（板书：有序）

【思考：这“疑”，是生疑，强调的是让学生引发认知冲突，产生疑惑，在矛盾和困惑中，产生探究欲望。关注并充分认识学生的认知起点，合理设疑，让学生在疑惑中产生冲突，感悟到不管是顺着整理，还是倒着推想，都是有序进行的，在倒推策略中有条理的思考是很重要的。】

（二）积累策略：两个量的变化

1.出示：两杯酒共400毫升，如果甲杯倒入乙杯40毫升，现在两杯酒同样多。

2.提出问题：原来两杯各有多少毫升？

3.学生解答并交流。

4.发现：整理信息的形式可以是多样的；解决问题的策略也是灵活的；比较中突出倒推的价值。

【思考：这“疑”，是释疑，强调的是让学生经历由困惑到明了的过程，在认知失衡后实现顺应，达到新的平衡。策略的学习不是一蹴而就的，也不是简单的“搭积木”的过程，而是一个生态式“孕育”的过程。准确把握数学学习的起点，促使学生在自身已有的基础上去探求新知，无疑是促进学生持续发展、凸显教学本质的前提。利用故事大背景，秀才请留下的两位客人喝酒，从酒量的不等到均分，由原来一个量的变化延伸到两个量的同时变化。】

三、提炼策略

1.辨析：什么问题适合用“倒推”策略解决？

下面哪个问题适合用“倒推”的策略解决，为什么？

1. 20                  （    ）           （    ）

2．（   ）               （    ）              20

3.一杯果汁200毫升，先喝掉60毫升，又加入40毫升，现有果汁多少毫升？

4.一杯果汁，先喝掉60毫升，又加入40毫升，现有果汁200毫升，原有果汁多少毫升？

2.明晰：已知原来求现在，顺着变化过程想就行了；已知现在求原来，就要用倒推的策略解答。

【思考：这“疑”，是质疑，强调的是鼓励和启发学生提出问题，在主动质疑、相互交流中掌握知识，学会思维，发展智力。帮助学生把握解决问题的思考路径和基本解题模式，从而有效促进策略的凝炼，建构起模型。当学生能够主动辨析问题的特点，从多种方法中灵活、快速地筛选出合适的方法来解决问题时，我们才能说学生具有了策略意识。通过质疑、比较、反思来提炼策略，可以促使学生形成策略意识。】

四、运用策略

小明的生活：

1.时间问题：小明穿衣要2分钟，刷牙洗脸要3分钟，吃早饭要10分钟，步行到校要15分钟。如果要在早上8时到校，那么小明最迟在什么时候起床？   

2.路线问题：小明从家去上学，先向东走到大桥，然后向东南走到桃园，再向东走到学校。小明放学回家走的路线是怎样的呢？

3.集邮问题：小明和小华、小红都是集邮爱好者。他们共有邮票120张，小明送给小华13张，小华又送给小红25张，结果他们邮票的张数同样多。他们原来各有多少张邮票？

【思考：这“趣”，是晓之以用趣。突出的是独辟溪径、促思砺智的用趣，让学生觉得“有成就”。问题解决与问题提出之间有着重要的联系。如果说问题的提出是为问题解决服务的；那么，问题的解决显然也是直接涉及问题提出的主题：“你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？”有意识地多层次、多角度安排，使学生在运用知识感觉有成就的同时，也充分感受到这种用趣：时间问题是倒推策略在日常生活中的典型运用；路线问题是学生曾经接触过的知识，将策略与旧知相融通；集邮问题是将变化的量进一步拓展，延伸至三个量的同时变化。】

五、课堂总结

谈话：通过本课的学习，你有哪些收获或感受？

总结：大家一定非常深刻地体会到有些问题的解决顺着想比较麻烦，需要倒推的策略，无论是顺推还是逆推，有条理的思考都是十分重要的。也明白了整理信息的形式是多样的，解决问题的策略也是各异的，关键在于我们灵活、综合运用。

总体思考：

通过实践，对倒推策略的教学有了更深刻的理解和感悟：

1.教学要建立在学生经验之上、趣意之中。

首都师范大学的王尚志教授说，数学要讲逻辑推理，更要讲道理。不满足于仅仅让学生知道是什么，还要深入地理解为什么会这样。数学上的智慧，恰恰是数学最具有思想魅力之处。

在策略教学中，学生往往知道“是什么”，也知道“怎样做”，但是在“是什么”和“怎样做”之间的桥梁却是缺失的，那就是：如何想到要采用这种策略去解答问题。而且，策略的学习也必须根源于学生的需要，唯有需求才能引发策略的意愿。因此，在解决问题策略的教学中，首先要诱发学生对解决问题策略学习的心理需求，诱发了这个心理需求，就找到了撬动学生思维的支点。

这一诱发的触点就应该是学生过去的经验和已有的知识，而这无处不在。既可以在解决高难度的数学问题中，也可以在日常生活中，还可以在儿童喜闻乐见的游戏和活动中。比如课中的“小猫钓鱼”便是如此。教育家夸美纽斯说：“提供一种既令人愉快又有用的东西，当学生们思想经过这样的准备之后，他们就会以极大的注意力去学习。”这份“准备”不仅是在情感和兴趣上的，如果“准备”中还蕴含所教内容的深层次联系，为后面的学习埋下伏笔，那就有了理性的意味。

策略形成的过程也是必须让学生自己经历、自己体验和感悟的。教学中应当着意于把学习的趣味与儿童的感受结合起来。真正的趣意是个人化的，需要自己判断、自己感受，是一种体验，而且是儿童的体验，是儿童学习数学的体验，在学习中需要释放这种体验。因此，将倒推策略蕴含在有趣的故事《秀才请客》之中，实现二者和谐相融。数学教师不是创造新的数学概念，而是创造儿童对数学概念的理解，数学中越是抽象理性的内涵，越需要我们转化为恰当贴切的直观形象。

2.教学要准确把握学生学习的最大困难在于表征问题。

表征问题是为了“好念头”，也就是策略的出现做准备。舍费尔德曾从教学的角度对如何搞好解题策略的教学提出了一些具体意见，其中第一点就是：使隐含的过程明朗化。因此，面对如此复杂的故事过程，学生根据游戏获得的经验，自然想到需要把故事情节“数学化”，用符号简洁地抽象整个过程，要“从整体里把特殊的细节挑出来”。而“挑出来”可以如波利亚所说的弄清问题可以画张图，引入适当的符号。信息加工理论认为，有了正确的表征，问题就已经解决了一半。布鲁纳更是直接说：“学习的重点不在于记忆，而在于编码。”表征（编码）的重要性在“倒推”的教学中表现得尤为突出。

心理学家梅耶认为，小学生的策略发展处于过渡时期，虽然已经自发地掌握了一些策略，但尚不能有效地运用这些策略，在倒推策略学习中，学生最大的困难就在于表征问题，需要成人给予策略上清晰的指导。因此，策略教学时，如果只顾学生的意愿，或许在出现许多个性化的表征问题的方式中也能将问题解答，但是，往往是注意不到表征问题的要点，基础好的学生只学了基础，停留于原来的认知层面，基础差的学生却只能无所适从。因此，教师在学生表征问题时，要准确监控，注重反馈，及时给予引导，选择既合适又简洁的形式。当学生乐于并有能力表征这些要追溯起始状态的问题时，计算已是水到渠成的事。

3.教学要让学生在适当的规范中拥有更好的个性发展。

尽管解决问题策略的学习在一定程度上可以说是一个规范性的过程，但是，这种规范性的活动不是为了束缚人们的思想；恰恰相反，我们应当通过适当的规范来促进学生个性能力的充分发展。

策略的教学并不是孤立的，而是互相联系、互为补充的。不能为了基本的巩固和内化策略，过于注重当下，只求所教策略的单一使用，局限于教材所提供的问题。对于解题策略的认识和巩固而言，单一模仿是十分必要的，也是无可厚非的，但更为重要的是，不能“为教策略而教策略”，应在单独使用的基础上融会贯通。面对“秀才请客”的问题时，有的学生用倒推的策略，也有学生用方程来解决，教师引导学生在比较中体会倒推是倒过来推想，而方程则是顺着想；面对“两杯酒”的问题，有的学生用倒推策略，也有学生利用和差关系来解决，教师引导学生在比较中发现，“两杯酒”的问题用倒推更易于理解，体现特定的策略价值；面对问题表征时，有的学生选择箭头和符号，有的学生选择画线段图，也有学生选择列表格整理信息，教师引导学生从中明白不管采用何种表征形式都是为了把题意理清楚，我们才能更快、更有效地解决问题。

罗增儒教授在《数学解题引论》中指出：任何数学问题的结构都有共性和个性两个方面。由共性出发，我们可以设法找出处理这一类问题的更高观点或统一原理；而由个性出发，我们又可以找出解决这一道特定题目的特殊技巧。这两方面的思考，是优美解的重要源泉。因此，要用联系的、多元的、复合的视角进行问题设计，比如“小明的生活”。学生在解决问题中将更能感受到策略的力量，更好地发展思维、改善思维，提高灵活解决问题的能力。学生的思维由特殊走向一般，智慧也就应然而生。

本文发表于《江苏教育》