独到的，才是不可替代的
——HPM视角下对“圆的面积”的思考与教学实践
陈金飞
【摘 要】HPM研究表明，个体的认识过程与人类认识的过程基本是一致的。在“圆的面积”的教学中融入数学史，可以把教材中呈现的素材以知识发生、发展过程的视角进行合理重组，放大“无限分割、化曲为直”极限思想的首次获得过程，促进学生理解数学本质，领会数学思想，获得数学感悟。
【关键词】HPM；圆面积；无限分割；化曲为直
一、课前慎思
我们选择“圆的面积”的教学作为HPM研究的案例，不仅因为圆是小学阶段唯一的曲线平面图形，更在于人类对“圆的面积”的探索曾被认为是理性追求的巅峰。
翻开数学史可以看到，随着生产劳动的需要，人类很早就开始探索平面图形的面积计算方法。在古希腊，人们最先发现正方形的面积计算公式。由此想到，既然正方形的面积可以用公式计算，那么只要做出一个正方形，使它的面积恰好等于圆的面积，就能实现“化圆为方”。著名辩士、诗人安提丰首创圆内接正多边形的方法来解决“化圆为方”问题。数学家阿基米德分别用边数不断增多的圆内接正多边形和外切正多边形逼近圆的周长，给出了圆的面积计算公式：圆的面积等于以圆周长为底，半径为高的三角形的面积。
阿基米德提出的圆的面积计算办法，相当于我国汉代数学名著《九章算术》中记载的“半圆半径相乘，得积步”，即圆的面积等于半圆的周长乘半径。我国魏晋时期数学家刘徽从圆内接正六边形开始割圆，得到一个正6×2n边形序列（n=0、1、2……），所得正多边形面积越来越接近圆的面积。而古印度数学家把圆切成许多小瓣，把这些小瓣对接成一个近似平行四边形，再通过分割平移将平行四边形转化为一个近似的长方形，用近似长方形的面积代替圆的面积。
17世纪，德国天文学家开普勒受切西瓜的启发，提出把圆分割成无穷多个小扇形，他认为每个小扇形面积对应一个小三角形的面积，圆的面积等于无穷多个小三角形面积之和，将这些小三角形等面积变形，最后，构成了一个大直角三角形，三角形的底就是圆的周长，三角形的高就是圆的半径，从而得出圆的面积计算公式S =cr=πr2。开普勒引入无穷小概念，跨越了曲与直的直觉理解界限，使得多边形和圆之间、无穷小面积与直线之间没有显著的差别。无限分割、化曲为直的独到思想沟通了有限与无限，为极限、微积分等现代数学的出现打下了理论与实践的基石。
梳理至此，可以发现早在两千多年前，人们就已经掌握了圆的面积计算方法，不断变化的是圆的面积计算公式的推导方法——从有限分割到无限分割，再到利用定积分的方法。在历史长河中，在数学科学发展的大背景中，看清“无限分割、化曲为直”才是对学生后续学习数学最具有价值的，也是我们最应该在教学中孕伏的。
思考至此，新的教学思路便跃然纸上了。
二、教学片断
1.呈现数学困境，引发矛盾，积蓄思维突破能量。
师：打算用什么方法研究圆的面积？
生：我觉得应该用转化，如果用数方格的方法，会有一些方格直接露在外面，不能精确地计算圆的面积。
师：通过比较，我们发现如果圆的边线变直了，测量就更方便、精确了。明白了这一点，接下来咱们就来想办法把曲线变成直线吧。（板书：化曲为直）
师：有什么办法可以把圆这个曲线图形转化为直线图形呢？
（四人小组一起动手操作，展示交流。）
师：这么多种转化方法，你觉得可以分成几类？
生：两类，一类是折的，一类是剪了再拼。
师：观察这几种折的方法，你有什么想法？
生：不能折成正方形，把弯曲的部分折掉了。
师：嗯，这种方法不行，面积变小了。再来看另外两种折法，你发现了什么？
生：折着折着，弧度就有点变直了。
生：折得份数越多，底边越平直。
师：真善于观察！采访一下折成八份的这位同学，为什么不继续往下折了？
生：纸太厚了，很难继续折下去了。
师：看来光用折的方法不能实现化曲为直。再来观察剪拼的图形，你有什么想法？
生：正方形不行，这个图形变大了。
师：看来转化时不能增加也不能减少图形的面积。观察剪拼成的近似平行四边形，与折出来的图形相比，有什么不足？
生：底边不平，弧线太弯了。
师：是否可以让底边变得平直一些？
生：分割的份数多一些，拼出的图形底边可能会更直一些。
2．感悟数学思想，分割转化，实现极限思想飞跃。
师：事实真的如此吗？借助电脑帮忙。
（多媒体展示将圆分割成一个个小扇形的过程）
师：发挥我们的想象力，如果继续往下分，最后会分出一个怎样的图形呢？
生：我觉得会变成一个很小的三角形。
生：说不定那个三角形就没有了。
生：不可能没有，我觉得最后会变成一根线。
师：你的想象力真强，跟古代数学家的想法不谋而合。看来我们继续把圆分割下去，拼出的图形底边会变得更直。
师：让我们闭上眼睛想象一下，如果无限分割这个圆片，最后会拼出一个怎样的图形呢？
师：孩子们，通过无限分割，我们居然把圆转化成了一个长方形，实现了“化曲为直”。这个思想在数学发展史上是具有开创性意义的。
（由长方形的面积计算公式推算出圆的面积计算公式。）
三、教后畅想
课堂中，教师让学生在观察“有限分割”的基础上想象“无限分割”，根据拼成的几个图形的变化趋势想象它们的终极状态，从而领会：将圆无限分割后可以拼成一个长方形。无形中给课堂注入了数学的深刻和历史的厚重，敦促学生自觉纠正了“把弯曲的剪掉才能变直”的直观经验，引领学生站在微积分的门槛上，真切地感悟数学思想的魅力。
我们主要用“有机渗透、反复感悟”的办法，组织学生感悟数学思想、积淀数学学习经验。从推导平行四边形面积计算方法时，就开始提“转化”；推导三角形和梯形的面积计算方法时，又讲“转化”；推导圆面积的计算方法时，还是毫无变化地继续提“转化”吗？一个数学思想犹如一个万花筒，即便还是它，但稍一变化，就能呈现出不一样的要点与价值。因此，我们需要结合数学思想在不同知识技能形成与运用的过程中展示出的独到价值，把它挖掘出来并放大呈现，这样，学生对数学思想和数学经验的感悟便会丰满起来。
对于艺术来说，民族的，才是世界的；对于知识来说，独到的，才是不可替代的。
参考文献：
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[4]M·克莱因.古今数学思想（第1册）[M].朱学贤，等，译.上海：上海科学技术出版社，2002：2-3.
﹡本文系江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题“数学史视野下的小学数学教学的案例研究”（批准号：B-a/2013/02/002）的研究成果之一。
作者简介：陈金飞，江苏省启东实验小学（江苏启东，226200）副校长，高级教师，南通市学科带头人。
【原文出处】《江苏教育》（小学版），2015.5.16～17
【作者单位】江苏省启东实验小学，联系地址：江苏省启东市人民中路720号（226200），联系电话：15962731800，E-mail:cjxxcjf@163.com。