让学生深透理解数学概念
——关于“体积与容积”的教学建议
江苏省启东实验小学 季国栋
数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。虽然小学数学学科中的概念不完全等同于数学科学的概念，没那么精确，也没那么严谨；但是为了学生数学学习的发展，教学中仍需引导学生深透理解数学概念。
一、深透理解，突破生活意义
由于儿童心理年龄规律所限，在小学阶段中的数学概念往往借用生活词语来表达和交流——而且是与日常生活无异的词语形式。比如，生活中的“大小”可以理解为有的大些有的小些，而体积意义中的“大小”指物体（立体图形）定了，它的体积就能用单位进行量化，而且是运动不变、确定的，所以可以测量、描述和比较。
然而，许多教师在教学“体积”时往往采用乌鸦喝水的故事，来说明乌鸦放进去的石子是占据空间的，进而将教学重点放在物体所占空间大小的比较上，引导学生理解正因为物体所占空间有的大些有的小些，所以物体所占空间的大小就是物体的体积。显然。对于“大小”一词的理解仅仅停留在生活意义上，数学的内涵体现得不够充分。为了区分关键词语所表达的数学意义和生活意义的不同，让学生深刻透彻理解体积概念，教学可以分两类物体从三个层次展开。两类物体就是规则物体和不规则物体；三个层次依次是让学生感知物体都占有各自一定的空间，感知所占空间是有大小的，所占空间的大小是可以判断的。
我们眼中所见更多的是不规则的物体，因此从不规则物体入手。乌鸦喝水时，水位升高说明小小的石子是占有一些空间的，请学生用手比划石子所占空间，强调采用围拢成一定空间的包含式比划手势，这手势表明的意思是立体的；再让学生用手势比划书本、课桌等物体所占的空间。通过列举多个例子，采用手势比划，可以让学生清晰地感知到不规则物体都是占有一些空间的，而且占有各自独特的、一定的空间，是确定不变，也是有大有小的。进而对这些物体所占空间的大小进行比较，如果无法直接用眼睛看出来，就需要进行实验，这也是教学中常用的。
图1 图2
至于规则物体，我们不仅要用眼睛看，有时还要学会数。如比较图1和图2谁占的空间大？图1是由8个小正方体堆成的，图2是由10个小正方体堆成的，因此，图2占的空间比图1大。此外，规则物体中还有不能直接数出所占空间大小的情形。如图3，两叠不一样的长方体纸，甲乙两叠纸谁占的空间大呢？引导学生，在这样的情况下需要把它们分割成大小相等的小立体（图4），再数出各有多少个，来比较出谁占的空间大。这样，不仅让学生体会到规则物体同不规则物体一样，也占有一定的空间，所占空间也是有大小，是可以比较的；而且学生通过经历把规则物体分割成小立体的过程，为学习体积单位埋下伏笔。
图3 图4
在学生经历如上丰富感知之后，再提炼出体积的概念，如此有意识地把“大小”一词回归数学科学的本体，考究这些关键词语的数学意义，既充分利用了学生的生活经验，又超越了经验层面提升为初步理性的认识，教学就完全有可能达到一种完美。
二、深透理解，避免认识偏差
尽管小学阶段的概念已经比较贴近儿童，但是概念中的有些词语还是比较抽象，难以理解，比如“容器所能容纳物体的体积就是这个容器的容积”中的“所能容纳”，便是如此。
通常教师在盒子里装满细沙，引导学生观察，表明盒子所能容纳细沙的体积，就是盒子的容积。随后提出问题，让学生回答还有什么物体也有容积。学生分别举例：水桶里盛满水，这些水的体积就是水桶的容积；饮料瓶里装满饮料，饮料的体积就是饮料瓶的容积；茶叶桶所能容纳茶叶的体积就是茶叶桶的容积……在此基础上，教师概括出像水桶、瓶子、茶叶桶等所能容纳的物体的体积，叫做它们的容积。
显然，如此教学仅仅只是容器与所装之物的变换，并不是容积概念的本质反映，而对于“所能容纳”的理解，教学中更是采用回避的态度，学生对此很容易产生误解，认为容器所装物体的全部体积，即便超出，也是该容器的容积，也会认为只有装了物体的容器才有容积，没装物体的容器就没有容积等等。
图5
为了让学生准确并深刻理解“所能容纳”，避免产生偏差的认识，出现错误的理解，我们可以采用渐变的方式。在相同的杯子里面分别装入不同量的沙子（图5），沙子的量在杯中呈现出由无到有，由少及多的渐变状态。接着，教师引导学生观察并比较这种状态，提出问题。哪个杯中的沙子体积是杯子的容积？这4个相同的杯子容积相等吗？由此，学生可以在真切感受中进行比较，在比较中产生认识的冲突，在冲突中逐渐达成平衡和一致。从而准确理解“所能容纳”指的是杯中的沙子正好装满，没有缝隙，也没有超出；而且，还能很直观地感悟到杯子里即使没有装沙子，也是有容积的；杯子里装的沙子在渐渐地变化，而杯子的容积没有改变；相同的杯子，容积是相等的。因此，虽然面对小学生，即使概念教学中遇到比较抽象的词语，也不能采取回避的态度，应该选用合适巧妙的方法，引导学生深透理解概念的意思。
三、深透理解，关照后续学习
教学的出发点应立足于学生学习基点，应该把握学生学习的困惑之处和所需之处。在理解体积和容积概念的基础上，学生还需要知道两者之间的联系和区别，重在明晰以下两种情况：
一是同体积的物体容积不一定相同。呈现相同的两个盒子（图6），并适时提问“这两个盒子的体积一样吗？”在学生得出体积相同之后，进一步追问“它们的容积是否也相同？”有的学生认为两个体积相同的盒子容积也一样；有的学生认为如果这两个盒子里面构造一样，它们的容积就相同，如果构造不一样，容积也不同。虽然大部分学生赞同后者，但是对于盒子里面的不同构造，有些学生是难以想象的。教师可以打开这两个盒子（图7），呈现盒子内的不同构造，让学生真切发现这种情况下的容积是不相等的。这样，学生可以明白容器容积的大小不能只看外表，体积相同的两个物体容积不一定相同。
图6 图7
二是同一个物体的体积大于容积。从学生容易接受的角度，应该选择生活中常见的容器；从学生容易理解体积与容积相互区别的角度，应该选择的容器在这两方面的差异度越大越好，也就是容器的厚度看上去很明显。可以用课件呈现盖子合拢的电饭煲，并闪烁整个电饭煲来表明这是电饭煲的体积，体积是从外面测量的；然后打开电饭煲（图8），并且闪烁里面的空间，表明这是电饭煲的容积，容积是从里面测量的。学生很容易从中明白，同个物体的体积要大于它的容积。如果教学到此为止，还是有点遗憾的。原因在于：学生在后续学习圆锥体积时，教学中都是采用容积来确定体积的。师生往往将圆锥体容器装满水，然后倒入和它等底等高圆柱体容器，三次基本倒满，得出圆锥体体积等于和它等底等高圆柱体体积的三分之一。然而，在这个过程中，很多学生都会产生困惑：“为什么容积就等于体积？”为了避免学生在后续学习中产生这样的困 图8
惑，可以利用课件，将电饭煲的厚度逐渐变小。在每一次变化之后，引导学生观察比较，发现电饭煲的容积与体积更接近了一些，差距变小了。在电饭煲的厚度由厚变薄的同时，学生在慢慢感受着极限思想，逐渐想象到“零厚度”，此时的容积就等于体积。如此教学，不仅可以让学生深刻理解体积和容积之间的联系和区别，同时也关照了学生的后续学习，为学习圆锥体积做好铺垫，帮助学生顺畅理解：在一定的状况下，可以忽略有些容器壁的厚度，容积就等于体积。
本文发表于《小学数学教师》